Координаты середины отрезка в пространстве. Координаты середины отрезка. Полные уроки — Гипермаркет знаний
Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка.
Цели урока:
Образовательные: Рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве; вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка.
Развивающие: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.
Воспитательные: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.
Оборудование: Чертежные принадлежности, презентация, ЦОР
Тип урока: Урок изучения нового материала
Структура урока:
Организационный момент.
Актуализация опорных знаний.
Изучение нового материала.
Актуализация новых знаний
Итог урока.
Ход урока
Сообщение из истории « Декартовая система координат» (Обучающийся)
Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую.
В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 – 1650) впервые введшего координаты в геометрию.
(Рассказ ученика об Рене Декарте.)
Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени - Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.
После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.
Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.
Повторение. Прямоугольная система координат на плоскости.
Вопросы:
Что называют системой координат на плоскости?
Как определяются координаты точки на плоскости?
Назовите координаты начала координат?
Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками на плоскости?
Изучение нового материала:
Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат обозначается буквой O .
Ох – ось абсцисс,
Оу – ось ординат,
О z – ось аппликат
Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и О z , О z и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оу z , О z х.
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты.
М (х,у, z ), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.
Система координат в пространстве
Коордиаты точки
Расстояние между точками
1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) и A 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 )
Тогда расстояние между точками A 1 и A 2 вычисляется так:
Координаты середины отрезка в пространстве
Есть две произвольные точки A 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) и A 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ). Тогда серединой отрезка A 1 A 2 будет точка С с координатами x, y, z, где
Получение навыков решения:
1) Найдите координаты ортогональных проекций точек A (1, 3, 4) и
B (5, -6, 2) на:
а) плоскость Oxy ; б) плоскость Oyz ; в) ось Ox ; г) ось Oz .
Ответ: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0);
г) (0, 0, 4), (0, 0, 2).
2) На каком расстоянии находится точка A (1, -2, 3) от координатной плоскости:
а) Oxy ; б) Oxz ; в) Oyz ?
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1
3)Найдите координаты середины отрезка:
а) AB , если A (1, 2, 3) и B (-1, 0, 1); б) CD , если C (3, 3, 0) и D (3, -1, 2).
Ответ: а) (1, 1, 2); б) (3, 1, 1).
5. Домашнее задание: учебник А.В.Погорелова «Геометрия 10-11» п. 23 – 25, стр.53 ответить на вопросы № 1 – 3; №7, №10(1)
6.Итог урока.
Таблица
На плоскостиВ пространстве
Определение. Системой координат называется совокупность двух пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей
Определение. Системой координат называется совокупность трех координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей
2 оси,
ОУ- ось ординат,
ОХ- ось абсцисс
3 оси,
ОХ - ось абсцисс,
ОУ – ось ординат,
ОZ - ось аппликат.
ОХ перпендикулярна ОУ
ОХ перпендикулярна ОУ,
ОХ перпендикулярна ОZ ,
ОУ перпендикулярна ОZ
(О;О)
(О;О;О)
Направление, единичный отрезок
Расстояние между точками.
Расстояние между точками
Координаты середины отрезка.
Координаты середины отрезка
Вопросы:
Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?
Как определяются координаты точки в пространстве?
Чему равна координата точки пересечения координатных осей?
Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?
Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?
Оценивание обучающихся
7.Рефлексия
На уроке
Я узнал …
Я научился…
Мне понравилось…
Я затруднялся…
Моё настроение…
Литература.
А.В. Погорелов. Учебник 10-11. М. “Просвещение”, 2010г.
И.С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах. М, “Просвещение”, 1987 г.
Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.
Итак, пусть отрезок задан своими концами - точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка - обозначим ее точкой H - можно найти по формуле:
Другими словами, координаты середины отрезка - это среднее арифметическое координат его концов.
· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K - середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.
Решение . Поскольку точка K - середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:
Ответ : K = (0,5; 0; 1)
· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .
Решение . Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L - это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:
Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)
Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах
Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.
Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.
В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .
Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .
Определение 2
Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .
Определение 3
Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B
Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B: необходимо определить координату x C .
Поскольку точка C является серединой отрезка А В, верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.
| А С | = | С В | ⇔ x C - x A = x B - x C
Тогда возможно два равенства: x C - x A = x B - x C и x C - x A = - (x B - x C)
Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).
Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных - несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и B (x B):
Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.
Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .
Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y - проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y).
Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2
Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:
Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A (x A , y A) и B (x B , y B) определяются как :
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .
A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z - проекции всех заданных точек на оси системы координат.
Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:
x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2
Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.
Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C – середина отрезка A B .
Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Следовательно, точка C имеет координаты:
x A + x B 2 , y A + y B 2
По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:
C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)
Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка
Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.
Пример 1
Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (- 7 , 3) и В (2 , 4) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В.
Решение
Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Ответ : координаты середины отрезка А В - 5 2 , 7 2 .
Пример 2
Исходные данные: известны координаты треугольника А В С: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , - 8) . Необходимо найти длину медианы А М.
Решение
- По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:
A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Ответ: 58
Пример 3
Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , - 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.
Решение
Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M - x C 1 = 2 · 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M - y C 1 = 2 · 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
Ответ: координаты точки А (7 , 3 , - 8) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Пусть А(Х 1 ; у 1) и В(х 2 ; у 2) — две произвольные точки и С (х; у) — середина отрезка АВ. Найдем координаты х, у точки С.
Рассмотрим сначала случай, когда отрезок АВ не параллелен оси у, т. е. Х 1 Х 2 . Проведем через точки А, В, С прямые, параллельные оси у (рис. 173). Они пересекут ось х в точках A 1 (X 1 ; 0), B 1 (X 2 ; 0), C 1 (х; 0). По теореме Фалеса точка С 1 будет серединой отрезка A 1 B 1 .
Так как точка С 1 —середина отрезка AiBi, то A 1 C 1 =B 1 C 1 , а значит, Ix — X 1 I = Iх — Х 2 I. Отсюда следует, что либо x —x 1 = x — x 2 , либо (x — x 1) = —(x-x 2).
Первое равенство невозможно, так как x 1 x 2 . Поэтому верно второе. А из него получается формула
Если x 1 =x 2 , т. е. отрезок АВ параллелен оси у, то все три точки A 1 , B 1 , C 1 имеют одну и ту же абсциссу. Значит, формула остается верной и в этом случае.
Ордината точки С находится аналогично. Через точки А, В, С проводятся прямые, параллельные оси х. Получается формула
Задача (15). Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты четвертой вершины D и точки пересечения диагоналей.
Решение. Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Поэтому она является серединой отрезка АС, a значит, имеет координаты
Теперь, зная координаты точки пересечения диагоналей, находим координаты х, у четвертой вершины D. Пользуясь тем, что точка пересечения диагоналей является серединой отрезка BD, имеем:
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
