Дробно рациональные числа. Определение и примеры рациональных чисел

14.10.2019

Рациональные числа

Четверти

Упорядоченность . a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений : « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг a неотрицательно, а b - отрицательно, то a > b . src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Суммирование дробей
Операция сложения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования c . При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием . Правило суммирования имеет следующий вид: .
Операция умножения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения , которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c . При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением . Правило умножения имеет следующий вид: .
Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c . 6435">Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие нуля . Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие единицы . Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
Наличие обратных чисел . Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.
Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Аксиома Архимеда . Каково бы ни было рациональное число a , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a . src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Счётность множества

Нумерация рациональных чисел

Самый простой из таких алгоритмов выглядит следующим образом. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой i -ой строке в каждом j -ом столбце которой располагается дробь . Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются , где i - номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а j - номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. Т. е. дроби 1 / 1 ставится в соответствие число 1, дроби 2 / 1 - число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Т. о. множество отрицательных рациональных чисел тоже счётно. Их объединение также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.

Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, т. к. на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел. На самом деле это не так и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.

Недостаточность рациональных чисел

Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

Рациональными числами вида 1 / n при больших n можно измерять сколь угодно малые величины . Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния . Легко показать, что это не верно.

Примечания

Литература

И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. - Киев: АСТАРТА, 1998. - 520 с.
П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Рациональные числа

Четверти

Упорядоченность . a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений : « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг a неотрицательно, а b - отрицательно, то a > b . src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Суммирование дробей
Операция сложения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования c . При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием . Правило суммирования имеет следующий вид: .
Операция умножения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения , которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c . При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением . Правило умножения имеет следующий вид: .
Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c . 6435">Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие нуля . Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие единицы . Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
Наличие обратных чисел . Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.
Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Аксиома Архимеда . Каково бы ни было рациональное число a , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a . src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Дополнительные свойства

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Счётность множества

Нумерация рациональных чисел

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

Недостаточность рациональных чисел

Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

Примечания

Литература

И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. - Киев: АСТАРТА, 1998. - 520 с.
П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Натуральные числа

Натуральные числа определение - это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица - это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с - это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе - нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с - натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a - делимое, b - делитель, c - частное.

Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

(ab) c = a (bc);

распределительное свойство умножения

A (b + c) = ab + ac;

Целые числа

Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например:

1; -2; -3; -4;...

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа - это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера.

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано таком в виде:

При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, и , (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь - наибольший общий делитель чисел и .

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел . Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель , то является целым числом. Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать). Заметим, кстати, что ещё древние греки убедились в существовании чисел, не представимых в виде дроби (например, они доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2).

Терминология

Формальное определение

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар по отношению эквивалентности , если . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

Связанные определения

Правильные, неправильные и смешанные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы . Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанной дробью . Например, . Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарной арифметике , избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Высота дроби

Высота обыкновенной дроби - это сумма модуля числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа - это сумма модуля числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби равна . Высота же соответствующего рационального числа равна , так как дробь сокращается на .

Комментарий

Термин дробное число (дробь) иногда [уточнить ] используется как синоним к термину рациональное число , а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае, дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа - всего лишь частный случай дробных.

Свойства

Основные свойства

Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам , которые легко могут быть получены из свойств целых чисел .

Упорядоченность . Для любых рациональных чисел и существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений : «», «» или «». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа и связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг неотрицательно, а - отрицательно, то .
Суммирование дробей
Операция сложения . правило суммирования суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием . Правило суммирования имеет следующий вид: .
Операция умножения . Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило умножения , которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением . Правило умножения имеет следующий вид: .
Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно .
Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие нуля . Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие единицы . Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
Наличие обратных чисел . Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.
Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.
Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.
Аксиома Архимеда . Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт .

Дополнительные свойства

Счётность множества

Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти мощность их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно . Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, т. е. устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел. Примером такого построения может служить следующий простой алгоритм. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой -ой строке в каждом -ом столбце которой располагается дробь . Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются , где - номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а - номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. Т. е. дроби ставится в соответствие число 1, дроби - число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Разумеется, существуют и другие способы занумеровать рациональные числа. Например, для этого можно воспользоваться такими структурами как дерево Калкина - Уилфа, дерево Штерна - Броко или ряд Фарея .

Недостаточность рациональных чисел

См. также


	Целые числа

Рациональные числа

Вещественные числа Комплексные числа Кватернионы

Примечания

Литература

И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. - Киев: АСТАРТА, 1998. - 520 с.
П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем